ポアンカレ予想 証明の歴史

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100年規模で未解決だった数学上の難問として知られたポアンカレ予想の年表である。ポアンカレ予想はトポロジーの発展につながったが、最終的な証明は、トポロジー以外の分野の要素が多く盛り込まれた方法で達成された。この予想の証明に人生をかけて精神を病んでしまった人が多くいたため、「人食い問題」としても悪名がたかい。

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年表

1895:ポアンカレ、位相幾何学の論文、 ポアンカレ予想を提唱

その多様体が3次元球面と同相でない可能性はあるのだろうか?

ポアンカレ

1904:ポアンカレ、補稿の発表

1908:デーン、ポアンカレ予想の証明を発表したが、取り下げる・・・間違っていた

1934:ホワイトヘッド、証明を発表したが、取り下げる

1961:スメイル、5次元以上のポアンカレ予想を証明

1982:フリードマン、4次元におけるポアンカレ予想を証明

同年:リッチフローの発展

2000:ミレニアム問題に選ばれる

2002:ペレルマン、物理学なども駆使し証明に成功、arXivに投稿

2003:ペレルマン、MITで講演

豆知識

・ペレルマンは2006年にフィールズ賞を贈られることになったが、辞退してしまった。当時はさらに失踪した、などのうわさが飛び交った。

・ポアンカレ自身は、予想は正しいと感じていたらしいが、生前に証明を達成することはなかった。

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考察

・高次元が先に解かれた
我々には想像が難しい高次元おいて、ポアンカレ予想が先に解かれたことは直感に反するように思える。しかし、高次元になることで自由度が増してできることが増えるという側面があるので、この問題についてはその利点が生かされたといえるだろう。なお、スメイルのアプローチとフリードマンのアプローチは分野が違うという。同じアプローチで解けないか試すのも面白いかもしれない?