非推移的サイコロ3種!ジッヒャーマンダイス-確率論のサイコロ

数学
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確率論ではサイコロが例題として挙げられることが多いが、中にはそれらの応用として面白い性質をもつものが登場するる。有名な非推移サイコロをはじめとしてそれらをまとめた。

また、その他のサイコロを題材にした不可能な問題も紹介している。

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非推移サイコロ

複数のサイコロを使って出た目の大きさを競う場合、確率的に三すくみの状態になる組み合わせを作ることができる。これを非推移サイコロと呼ぶ。6面の数字をかっこの中で表すと、以下の組み合わせが三すくみになる。

A=(1,1,3,5,5,6)

B =(2,3,3,4,4,5)

C =(1,2,2,4,6,6)

非推移サイコロ展開図

このページを印刷して上の展開図を組み立てると非推移サイコロをつくれる!

確率的に、AはBにつよい。BはCに、CはAにそれぞれ強い。下の票のように、AvsBは17-15でAの方が勝つ。

A→
B↓
113556
2BBAAAA
3BBAAA
3BBAAA
4BBBAAA
4BBBAAA
5BBBA
AとBの勝敗表

さいころゲームに勝つ方法!

・対戦相手と二人で同時に転がし、大きい方が勝つ、というゲームをする。

・ただし相手に先にサイコロを選ばせる。

このとき、相手の選んだものより有利なサイコロを上から選べば、勝つ確率があがる!

エフロンのサイコロ(Efron’s Dice)

非推移サイコロの4つのサイコロのバージョン。20世紀半ば、確率論研究者のエフロンによって発見された。

それぞれ、aはbに強く、bはcに強く、cはdに強く、dはaに強い。

a=(0,0,4,4,4,4)

b =(3,3,3,3,3,3)

c =(2,2,2,2,6,6)

d =(1,1,1,5,5,5)

こちらも、転がしゲームをする場合、相手の選んだものより有利なサイコロを上から選べば、勝つ確率があがる!

ミウィンのサイコロ(Miwin’s Dice)

こちらは6までの数値という通常のサイコロの制約を外し、9までをサイコロの面にかいて作った事例。1975年に作られた。

a=(1,2,5,6,7,9)

b =(1,3,4,5,8,9)

c =(2,3,4,6,7,8)

ジッヒャーマンダイス

これは非推移さいころではないが、面白い性質のサイコロである。マーティンガードナーが20世紀前半に報告している。

ふたつ同時にふったときの目の和(1~12のどれかになる)の出方が、確率も含めて通常のサイコロ二つと同じになる。

X=(1,3,4,5,6,8)

Y=(1,2,2,3,3,4)

2になる確率(1のぞろ目),12になる確率(6のぞろ目)は通常のサイコロ2つと同じく1/36、以下、どの和の出方もおなじ!

また、そのようになるさいころはジッヒャーマンダイスだけということが証明されている。

不均質サイコロ

通常のサイコロを2つ振ると、出た目の和は2~12までの11通りになる。

このとき、それぞれの和がでる確率を等しく1/11にできるか?という問題。

目のでる確率を調整する?

サイコロの形をかえるなどして、確率を調整しても、1/11にはできないことが知られている。

目の数字を自然数の範囲で調整する?

数字を使える範囲を大きくしても、同様にできないことが知られている。

豆知識

・投資家のウォーレン・バフェットは、非推移サイコロに非常に興味を持った人物として知られている。

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