4色問題(四色問題)の反例が発見された?!

数学
Pocket

 四色問題は、長い間解決されなかった難問であるが、その過程で、反例と思われるものが提出されたことがある。それを年表でまとめた。
 なお、証明方法が間違っていることを示すものであって、四色問題そのものの反例ではない。よって、すべて4色あればぬれる。暇な人は塗ってみよう。

応援ありがとうございます

四色問題の反例 年表

1879:ケンプ、「ケンプ鎖」の発想を使って四色問題を解決したかに思われたが・・・ケンプ鎖を使えば、一色余らせることができ、4色で塗れる。

ケンプ:
ケンプ鎖の考え方をつかえば、どんな地図でも4色で塗り分けられる。QED

ヒーウッドの反例

1889:ヒーウッド(ヘイウッド)の反例・・・ケンプ鎖を適用しても色が余らない例がみつかった。

ヒーウッド:
ケンプ鎖が交差してしまうと、隣あった国が同じ色になってしまう例がある。ケンプの証明は誤り。

ド・ラ・ヴァレ・プーサンの反例

1896:ド・ラ・ヴァレ・プーサンの反例・・・国数は13で、ケンプ鎖の方法に対する最小の反例となっている。

プーサンの反例

ヒーウッドの地図よりも国数の少ない地図はつくれる。

エレーラの反例

1921:エレーラの反例・・・対照的な美しい形をしている。

エレーラの反例

ガードナーと反例(エイプリルフール)

1975:ガードナーの反例・・・これはエイプリルフールだったが、本当だと勘違いした読者から、「4色で塗れたぞ」との手紙が多数届いたという。この時はこれのほかにも面白いジョークを発表している。ジョークを読めばこれがエイプリルフールだともわかる。

ガードナーの反例
引用:https://mathworld.wolfram.com/McGregorMap.html

ムーアの地図

1960代:ムーアの地図・・・塗るのが難しい配置を組み合わせていき、反例を作ろうとする試みが一方では研究されていた。将来的には、このような試みから反例がみつかるのではという見方もあった。しかし、これも4色で塗れる。

ムーアの地図
引用:四色問題、R・ウィルソン

ムーアの地図の塗り分けの答えは以下の本にカラーで載っている↓。

1970年代:最終的な4色問題の解決。反例は見つからないまま証明が完成した。

豆知識

・今でも数学者の研究室には、たまに四色問題の反例、つまり5色が必要な地図が送られてくることがあるそうである。しかし、4色で塗り分けられる。

おすすめ

考察

・コンピュータの証明の影響?
四色問題はコンピュータを使って証明されたので、「もしかしたらバグがあって、コンピュータが証明できなかった部分に反例が隠れているのでは」、という思いが、いまだに反例への想像をかきたてていると考えることもできる。
 もっとも、コンピュータの証明も実際には簡素化されていき、コンピュータの性能の良さも発展したこととあいまって、その可能性はほとんど0に近いのが現状である。