ヒルベルトの23の問題、今回でなんと第7問目！
これまでは「証明できません！」「部分的にしかわかってません！」という未解決ムード漂う問題が多かったですが……。
ついに来ました、明確な「肯定的解決」がされた問題！！🎉
その名も：
第7の問題「種々の数の無理性と超越性」
タイトルだけ聞くとちょっととっつきにくいですが、噛み砕いていくとめちゃくちゃ面白いし、美しいんです。
今回はそんな第7問を、数の不思議とロマンを交えながら、わかりやすく紹介していきます！
第7の問題「種々の数の無理性と超越性」とは？
まず、ヒルベルトがこの問題で何を問うたのか、ざっくり言うとこうなります：
「ある種の数（特に代数的な数）を使った指数の形 a^b が超越数になる条件を知りたい！」
ここでいう「ある種の数」とは、代数的数のこと。
それに対して「超越数」とは、「代数的じゃない数」です。
幾何的バージョンの表現
ヒルベルト自身もこの問題について、幾何的な見方を挙げています。それがこちら：
「二等辺三角形において、底角：頂角の比が代数的かつ無理数のとき、底辺と斜辺の長さの比は超越数になるか？」
この一文、けっこう数学っぽいですが、意外と意味はシンプルです。
- 二等辺三角形の底角を α、頂角を β とする
- 角度の比 α : β が 代数的無理数（例：√2など）のとき、
- 底辺と斜辺の比（＝cos(α)/cos(β) などの形）が、超越数になるか？
という話です。
「超越数」ってそもそも何？
超越数（ちょうえつすう）とは：
どんな代数方程式（係数が整数）でも、解として表せない数
たとえば、「√2」や「1/3」みたいな数は方程式で定義できます。
超越数は、そうした定義ができないような、より深い不思議な数です。
🔢 例を挙げると…
- 代数的数：√2、1/3、(1+i√3)/2 など
- 超越数：π、e、e^π、2^√2 など
πやeは有名ですね。
そして第7問では、特に「a^b の形が超越数になるか？」がテーマになっています。
解決に至るまでの過程
ヒルベルトがこの問題を提起したのは1900年。
「a^b が超越数になる条件」をきっちり調べたい！という意欲がこもった難問でした。
この「a^b の超越性」は、当時の数学界でも未解明の大問題。
特に指数の中に無理数がある場合は非常に扱いが難しく、明確な理論がなかったのです。
🎯 どう解決した？
この問題は、結論がはっきり出ている問題です！
ゲルフォント＝シュナイダーの定理の登場！
この課題に挑んだのが、ロシアの数学者アレクサンドル・ゲルフォント（Gelfond）と、ドイツ出身のテオドール・シュナイダー（Schneider）。
そして1934年、ついにその問いに明確な答えが！
📌 ゲルフォント＝シュナイダーの定理（ざっくりバージョン）
a ≠ 0,1 の代数的数、b が代数的無理数 → a^b は超越数になる
つまり：
- a = 代数的な数（たとえば 2）
- b = 代数的無理数（たとえば √2）
- ➡ ならば 2^√2 は超越数！
この定理によって、ヒルベルト第7問題は明確に「肯定的に解決」されました！
🎁 おまけ：2^√2 が超越数という意味のすごさ
2^√2 って、見た目はそこまで複雑に見えないですよね？
でも実はこれ、普通の代数的な式（√や有理数など）で絶対に定義できない超・不思議な数なんです。
“自然界にありそうなのに、方程式でつかまらない”
そんな超越的な存在が、私たちの身近にあるというのは、なんだかロマンを感じませんか？
第7の問題が残したもの
この問題の解決は、「代数的」と「超越的」の境界をはっきりと線引きしたという点で、非常に重要です。
その影響は今も続いていて、以下のような分野に波及しています：
- **超越数論（Transcendental Number Theory）**の確立
- 数論の発展：代数体や体拡大の理解が進んだ
- 代数幾何学・数理論理との新たな接点が生まれた
- リンダマン、ベイカーらによるさらなる一般化の道が拓かれた
ただの一つの定理ではなく、
「数ってこんなにも奥が深いんだ」という視点を、数学に与えた大発見だったのです。
まとめ（要約）
それでは、今回の内容をざっくりおさらいしてみましょう！
- 第7の問題は、「a^b の形の数は超越数になるのか？」という問い
- 幾何的にも「特定の角度の比が代数的なとき、辺の比が超越数か？」と表現できる
- 1934年にゲルフォントとシュナイダーが解決
- 「a が代数的、b が代数的無理数なら、a^b は超越数」という定理を証明
- ヒルベルト23の問題の中でも、明確な肯定的解決が得られた数少ない成功例
- この定理は超越数論の出発点となり、現代数学に多大な影響を与えた
次回はまた一転、未解決感漂う第8問へと続いていきます…！
ヒルベルトの問題たちは、こうして解けるものもあれば、解けないものもある。
でもすべての問いが、人類の知を一歩先へ押し進めているのです。
