さぁやってきました、ついに第12問！
ヒルベルトの23の問題を1つずつ解説していくこのシリーズ、今回はちょっと哲学的でディープな数論の世界に飛び込みます！
その名も……
🎓「類体の構成問題」
〜通称：Kroneckerの青春の夢〜
一部ではこのようなロマンチックなネーミングで呼ばれることもあります。
でも数学好きなら正座して聞きたくなる、ロマンの詰まった問題なんです！
■ 類体の構成問題ってなに？
まずは、用語を読み解きながら、問題が何を言っているのかを見ていきましょう。
● そもそも「類体」ってなに？
まず「類体（class field）」とは何か。
これは一言でいうと：
ある数体の「最大のアーベル拡大」
ここでの「アーベル拡大」とは、そのガロア群がアーベル群（可換群）になるような拡大のこと。
この類体という存在、実は：
数の構造を“宇宙の地図”みたいに明らかにしてくれるスゴいやつ✨
なんです。
● ヒルベルトの問いとは？
ヒルベルトがこの第12問で投げかけたのは：
「すべてのアーベル拡大を、具体的な“特別な数”で構成できないか？」
という壮大な問い。
イメージとしては：
- 有理数体 Q⇒ 円分体でアーベル拡大OK
- 虚2次体 ⇒ 複素乗法理論でOK
- じゃあその他は！？ ⇒ わからん！！（未解決）
■ クロネッカー・ウェーバーの定理から始まる夢
ヒルベルト第12問の出発点、それがクロネッカー・ウェーバーの定理です。
🔍 クロネッカー・ウェーバーの定理とは？
「有理数体 Q のすべてのアーベル拡大は、円分体（Q(ζn)）で生成できる」
ここで登場する「円分体」とは、円をn等分した点の座標がつくる数体のこと。
つまり「円分根」と呼ばれる、n乗根の集合からなる数体です。
そしてヒルベルトは思ったのです：
「この魔法、他の数体にも通じるんじゃね？」
■ ヒルベルトの野望：「他の体でも明示的に類体を作りたい！」
✅ 虚2次体の場合は？
虚2次体（たとえば Q(√−d)）では、「複素乗法（complex multiplication）」という理論が大活躍！
この理論では：
- 楕円曲線の理論
- モジュラー関数
- j-不変量
などが登場し、「特別な数」でアーベル拡大が明示的に構成可能！
つまり、クロネッカーの夢は「虚2次体」において実現したわけです。
■ 誰が解決した？ ── 数論のレジェンドたち
この問題には長年、多くの数学者が関わってきました：
- レオポルト・クロネッカー：問題の種をまいた夢見る先駆者
- ヒルベルト：それを正式な数学問題として提出
- ヴェーバー：円分体の理論で大貢献
- クラウス、シゲル、シミュラ：複素乗法理論を築いた先駆者たち
そして、近年の進展もすごいです👇
🔬 近年の進展（2020年代）
- Dasgupta & Kakde（2020–2023）：
全純実体に対して、p進的ブリュメール–スターク構成という革新的なアプローチを展開！
■ でも……やっぱり「完全な解決」ではない
今のところの状況は：
| 数体の種類 | 状況 |
|---|---|
| 虚2次体 | ✅ 解決！（複素乗法でOK） |
| 全純実体 | 🔶 一部構成可能（研究進行中） |
| それ以外の数体 | ❌ 未解決（方法不明） |
つまり、ヒルベルト第12問は「部分的に解決された問題」なのです。
英語文献では “partially resolved” と書かれ、日本語では「未解決」とされることもあります。
■ この問題が数学に残したもの
ヒルベルト第12問が「未完の夢」であるがゆえに、現代数学にこんなインパクトを与えました：
1. 「明示的構成」の哲学を現代へ
ヒルベルトの願い＝「特別な数で類体を構成したい！」という思想は、現代では：
- 保型形式（modular forms）
- モチーフ理論
- p進数論
- Langlandsプログラム
といった巨大な研究領域へと繋がっています。
2. 数論 × 幾何 × 複素解析 の融合
複素乗法理論を通じて、
- 数論（体の拡大）
- 代数幾何（楕円曲線）
- 複素解析（モジュラー関数）
がガッチリ結びつくようになりました。これこそ現代数学の面白さ！
3. 新しい未解決問題を生む“発電機”に
この問題が「完全には解けていない」からこそ、
- 実2次体での構成方法は？
- CM体（虚2次体以外の複素乗法体）はどうする？
- 非アーベル拡大には何が使える？
──といった新たな問題がどんどん出てくるわけです。
✅ まとめ：第12問は「夢が続く」問題！
最後にポイントだけまとめます👇
- ヒルベルト第12問は「すべてのアーベル拡大を“特別な数”で明示的に構成できるか？」という問い。
- 有理数体では「円分体」、虚2次体では「複素乗法理論」で構成可能！
- それ以外の代数体では、まだ未解決部分が多い。
- 最近の進展（Dasgupta & Kakdeなど）により、「全純実体」でも可能性が見えてきた。
- この問題は数論と幾何、解析をつなぐ「数論幾何学」の起点となった。
ヒルベルトの夢はまだまだ続きます。
「すべての数学は一つにつながっている」──そんなワクワクを感じながら、次回もお楽しみに！
📚ここまで読んでくれてありがとうございました！
