さてさて、ついにやってきましたよ〜
ヒルベルトの23の問題シリーズ、今回でなんと第11問目！お題は……
「代数体上の二次形式の分類」
……うん、タイトルからしてすでに若干むずかしそう。
でも安心してください。この記事では、ガチガチの数学用語をかみくだいて、ポップに楽しく解説していきます！
■ 「代数体上の二次形式の分類」って何？？
まずは代数体とか、二次形式などの専門用語を読み解いていき、問題が何を言っているのかを見ていきましょう。
● 「二次形式」とは？
「二次形式」とは、簡単に言うと二次式の“形”のことです。
たとえば：
Q(x,y) = a x² + b x y + c y²
これは二変数の二次形式ですね。
一般に、変数が n 個ある場合は：
Q(x1,x2,…,xn)=∑ij aijxixj
各項が2つの変数の積で、次数が2になっているのがポイントです。
● 「代数体」とは？
「代数体」とは、有理数（分数）を拡張した数の世界で、有限次元の代数的拡大体のことを指します。
例として：
- Q(√2)
- Q(i)（虚数単位を含む体）
これらすべてが「代数体」です。
● 問題の狙いは？
つまりこの問題は、ズバリ：
「いろんな代数体の上で定義される二次形式が、どんな種類に分類されるか？」
というもの。数学者たちが「似ているものは同じグループ、不思議なものは別のグループ」というふうに分類しようとしているんです。
■ なぜこれがヒルベルトの問題なの？
ドイツの天才数学者ダフィッド・ヒルベルトが1900年に出した「23の未解決問題」の中で、
第11問：「代数体上の二次形式を、どのように分類できるか？」
という問題が提唱されました。
そのシンプルさに反して、非常に深い内容を突く問いなのです。
■ 解決までの道のり：数論と幾何の大合唱！
この問題のキモは：
どの代数体を考えるかによって、二次形式の性質がガラリと変わる。
単なる「基底変更」では違いがわからないケースも多く、
整数論や類体論、p進数、局所体、大域体といった高度な数論が登場します。
● キーワード：局所–大域原理
ここで登場する重要な考え方が、局所–大域原理。
この理論を先導したのが、ヘルマン・ミンコフスキーやアドルフ・フルヴィッツ、そして特に有名なのが……
■ 誰が解決したの？ ハッセと局所–大域原理の魔法
● 主役はヘルムート・ハッセ（Helmut Hasse）！
ハッセが打ち立てたのが、ハッセ–ミンコフスキーの局所–大域原理：
ある二次形式が代数体上で表現できるかどうかは、すべての局所体（例えば Qpや R）で調べればわかる！
つまり局所的にOKなら大域的にもOK、という強力な橋渡しになります。
これにより、有理数体などにおける二次形式の分類は大幅に進展し、問題は事実上解決されたと見なされます。
■ でも、ほんとうに「完全」に解決したの？
ハッセのおかげで完全解決した！と思ったあなた……少し待ってください。
● 何が「部分的」なのか？
ヒルベルトが望んだのは：
- すべての代数体
- 任意の次数の二次形式
- 具体的かつ計算できる分類
というもの。しかし、ハッセの理論が扱うのは、限られた「単純な代数体」「低次の形式」。
● より複雑な世界では？
例えば：
- 多重拡大を持つ代数体
- 整数環上の二次形式
- 変数の多い高次元形式
などになると、局所–大域原理だけでは不完全な結果が出てくる場合があります。
したがって、第11問題は「広範に解明されたが、完全には終わっていない」とされる問題でもあります。
■ 実は奥深い応用もあるんです！
この分類理論は抽象数学にとどまらず、以下の分野へ波及しています：
- 符号理論（誤り訂正コード）
- 暗号理論（格子暗号など）
- 数論幾何、モジュラー形式、保型形式
つまり、現代の数学・情報科学の基盤となっている知見です。
■ 第11問が残したもの：知のターニングポイント
この問題がもたらした功績は多岐にわたり：
- 局所–大域原理の確立
→ 類体論、整数論、保型形式へと拡大する数論的視点 - 数体の構造を空間的に理解する力
→ 数論幾何学・算術代数幾何へと進展 - 抽象理論と具体計算の融合
→ コンピュータを活用した代数体計算や暗号技術を促進 - 「局所情報から数学構造は理解できるか？」という本質的問い
→ 局所–大域アプローチの限界と可能性の研究へ
■ まとめ！
最後に要点を簡単に整理します👇
- 第11問：「代数体上の二次形式の分類」を求める問題
- 二次形式：ax^2+bxy+cy^2 のような式
- 代数体：有理数から拡大した数の世界
- ハッセの局所–大域原理によって、分類は大きく進展！
- しかし、全代数体・高次域での「完全」分類にはまだ未到達
- 応用は暗号、符号、数論幾何、計算数学など多方面に及ぶ
ヒルベルトの問いに答えるたび、数学は「深い問いを解く」だけでなく、「さらに問いを生む」仕組みを育んできました。
第11問も、その壮大な物語の中で“一歩先”に道を拓いた重要な節目です！
次回は第12問！
いよいよシリーズも後半戦。新たな展開にご期待ください🌟
