おかえりなさい！ヒルベルトの「23の問題」シリーズも、ついに第5回。
今回は、一見マニアックだけど実は数学と物理をつなぐ超重要テーマ――
「位相群がリー群になる条件って何？」
という、ヒルベルト第5の問題を取り上げます！
……え？「位相群」って何？「リー群」って難しそう？
大丈夫！今回もポップにわかりやすく噛み砕きます！
◆ 位相群がリー群になるって、どういうこと？
まずは用語の整理からスタート！
✅ 位相群ってなに？
ざっくり言うと、「連続的な変換の集まり」で、以下の性質を持つもの：
- 群（つまり、演算があって、逆元があって、単位元がある）
- 位相空間（＝連続性を持つ空間）としての構造もある
- 群の演算と逆元操作が連続写像である
代表例：
- 実数全体の加法（ℝ, +）
- 円周上の回転（S¹）
✅ リー群ってなに？
こちらは「なめらかな（微分可能な）構造も持った位相群」です。
- 群であり
- 多様体（局所的にはℝⁿっぽい空間）
- 群の演算と逆元操作が「微分可能」
つまり、リー群＝解析的な性質を持った位相群。
これを通じて、連続的な対称性や力学系の研究が可能になります。
◆ ヒルベルトの第5問題とは？
さて、本題。
ヒルベルトが1900年のパリで提起した「23の問題」の中で、第5の問題は以下の問いを投げかけました：
「解析的な構造がなくても、なめらかに振る舞う群は“リー群”なのか？」
もっと砕けて言うと：
- ちゃんと連続していて、群の性質も持ってる「位相群」があるとして……
- それって、「微分可能なリー群」ってことにしちゃっていいの？
つまり、**位相群が十分に“きれい”だったら、勝手にリー群だと考えてOK？**という話です。
◆ 解決までの長く曲がりくねった道
この問題は見た目よりもずっと深くて、数学界では長年にわたって議論されてきました。
- 一部の特殊な場合（コンパクト群や可換群など）では、リー群と同一視できることが早くから知られていました。
- でも、一般の場合には「連続性」だけでは滑らかさ（微分可能性）が保証されるか不明。
つまり、「どこまで連続なら“微分できる”と見なせるか？」という問題だったわけです。
これは、解析（連続）と幾何（滑らかさ）の境界線を探る壮大な試みでした。
◆ 1953年：ついにグリーソンが突破！
この難問に光を当てたのが、アメリカの数学者アンドリュー・グリーソン（Andrew Gleason）です。
📌 グリーソンの功績（1953年）
1953年、グリーソンは次のことを証明しました：
「局所コンパクトな位相群で、連続的に動く“きれいな”ものはリー群になる！」
彼の証明はきわめて高度で、幾何・解析・群論の知識が融合した大仕事でした。
これによって、ヒルベルトの第5問題は「肯定的に解決された」と考えられるようになります。
しかもこの成果、単なる理論的な満足にとどまりません。現代物理学（特に素粒子論や量子力学）で使われる連続対称性の理解に直結する大発見だったんです。
◆ ヒルベルトの死後、初の“解決済み”問題
この第5問題、実はひとつ特別なポイントがあります。それは――
解決された問題としては、ヒルベルトの死後（1953年）に初めて成果が確定した問題だということ！
ヒルベルトは1943年に亡くなっているので、グリーソンの証明を見ることはありませんでした。
もし生きていたら、彼は大喜びだったに違いありませんね。
それどころか、「あのグリーソンのアイデアに触発されて、新しい公理体系を考え始めたかも……」なんて妄想もしてしまいます。
◆ でも「完全解決」ではない？ヒルベルト＝スミス予想へ
ところで、この問題にはちょっとだけ「未解決ゾーン」があります。
それが有名なヒルベルト＝スミス予想（Hilbert–Smith Conjecture）！
🤔 ヒルベルト＝スミス予想って？
ざっくり言うと：
「位相群であって、リー群じゃないような“変な”群って、本当に存在するのか？」
という予想。具体的には、p進整数の群（ℤₚ）のような構造が連続的に空間に作用できるのか？という問いです。
この予想、今も未解決！
そして、グリーソンの証明とは少し分野がズレているので、第5問題の別の解釈的に扱われています。
◆ 第5の問題が残したもの
ヒルベルト第5の問題は、「連続」と「滑らかさ」の違い、そしてその橋渡しをテーマにしていました。
その後の数学・物理学に与えた影響は計り知れません。
- リー群と微分幾何のつながりが強化された
- 物理学における“連続対称性”の理論的支柱となった
- 位相群の構造理論が大幅に発展
- ヒルベルト＝スミス予想という新たな未解決問題を生んだ
つまり、この問題はひとつの問いから、広大な数学の森を育ててしまったんです。
🔍 本文の要約（まとめ）
- ヒルベルトの第5問題は「連続的な群（位相群）は微分可能なリー群か？」という問い。
- 位相群：連続な演算を持つ群、リー群：さらに微分可能な構造を持つ。
- 長年の研究を経て、アンドリュー・グリーソンが1953年に肯定的に解決。
- グリーソンの成果は、ヒルベルトの死後に初めて解決された問題。
- ただし関連問題のヒルベルト＝スミス予想はいまだ未解決。
- 問題の解決は、物理学・幾何学・解析学にまたがる大きな前進をもたらした。
次回は第6問題、「物理の公理化」にチャレンジ！
ついに数学と自然科学ががっつり交差してきますよ～！お楽しみに！
