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数学の根幹をなす素数には、いくつものトピックがあります。
今回はそんな中でも、「素数の公式」と呼ばれるちょっと変わったやつを紹介します。その名も…
🔷 ウィランズの公式（Willans’ formula）
え、素数に公式なんてあるの！？
って思った方。実は、「素数には公式がない」ってよく言われているのに、こういう公式も存在するんです。でもちょっと複雑で非効率…。
この記事では、ウィランズの公式とは何なのか、素数に「公式がない」と言われる理由、そしてウィルソンの定理との深〜い関係もわかりやすく解説していきます！
まず、よく言われるこの言葉。
「素数には公式がない」
これは一体どういう意味なんでしょう？
実は、これはちょっと誤解を招きやすい言い方なんです。正確には、
「素数だけを次々に生成するような、シンプルで効率的な公式は存在しない」
というのが本当の意味です。
たとえば、2, 3, 5, 7, 11…って感じで、1つの数式から次々と素数だけを出してくれるような魔法の公式があったら、みんな使いたくなりますよね。
でも、そんなうまい話はないんです。
なぜなら、素数は「間隔」がランダムっぽくて法則性が見えにくいから。
でも、「非効率でもいいなら、素数を見つける公式はいくつかある」のです！
さあ、ここで満を持して登場するのが「ウィランズの公式」です。
この公式、なんとn番目の素数を数式で表せるという、めちゃくちゃ夢のあるやつなんです。
…え？
いきなり数式が爆誕してびっくりした？大丈夫、解説します！
この式の中身はこうです：
つまり、まさに素数専用マシンみたいな式！
…ただし計算量がバカ重い。
2^n 回もループを回す上に、毎回階乗の計算をしなきゃいけないので、nがちょっと大きくなるとPCが泣きます（人間も泣きます）。
このウィランズの公式、ウィルソンの定理がベースになっています。
この定理の意味はこう：
もし p が素数なら、(p−1)! + 1 は p で割り切れる。
逆に言えば、
もし (p−1)! + 1 が p で割り切れるなら、p は素数。
これってすごくないですか？
素数かどうかを、「階乗を使って調べる」という超変わり種の方法なんです。
ウィランズの公式は、このウィルソンの定理を利用して、次のような発想でできています。
つまりウィランズの公式は、「ウィルソンの定理を片っ端から試して素数を数える」という、超ゴリ押し系・物量タイプの公式だったんです！
「非効率なら意味ないじゃん」と思った人もいるかもしれません。
でも、実はそうでもないんです。
ただし実用性はゼロに近いです（笑）
でも、「素数には公式がない」は、厳密には正しくないと教えてくれる公式ですね。
最後に、今日の内容をざっくり振り返り！
ウィランズの公式は「非効率だけど夢がある」数学のロマン。
普段はあまり意識しないけど、こういう“ひねくれたアプローチ”から見ると、数学の世界って意外とポップで面白いんです。
もしこの記事でちょっとでも「数学って意外とおもしろいかも」と思ったら、あなたも立派な“数式探検隊”の仲間入りかもしれません！