＼当サイトではリンク広告を利用しています。／
地球みたいなまる～い球の表面に、できるだけバランスよく点を置くにはどうすればいい？
その点たち、バラバラ？密集？それとも…？
そんな素朴だけど超奥が深い問題に挑戦するのが、今回ご紹介するスメイルの第7問題「2-球面上の点の分布」です！
まるで宇宙の星々のように、球の上に広がる点たち。その配置には、数学・物理・アルゴリズムの叡智がギュッと詰まっているんです。今回はこの問題を、ポップにガッツリ掘り下げていきましょう〜！
まず、「2-球面」って聞き慣れない言葉ですよね。これは簡単に言うと、3次元空間に浮かぶ“普通の球の表面”のことです！
そしてその上での問いが、次のようなもの：
「どうやって点を並べれば、なるべく『等間隔っぽく』なるの？」
「一番“自然で対称的”な配置ってどんなもの？」
数学的にはこれを「点の分布」と呼びます。
ここで登場するのが、エネルギーっぽい数式 VN(x)：
ちょっと怖い顔をしてますが、簡単に言うと：
つまり：
という命令！
物理でいうところの反発しあう粒子が球の表面に乗っているイメージです。電荷のようなものを持った点たちが、「うわ、近づきたくない〜！」って言いながら最適なバランスで散らばっていく。
そんな様子を数式で表したのがこの VN(x)なんです。
ここでちょっと似た有名な問題をご紹介。
それが物理の世界でも登場する「トムソン問題」です！
今回のスメイルの問題では、ログ関数を使った“似たけど違う”エネルギー最小化をやるわけです。
でも基本の思想は同じ。「点と点が近いとエネルギーが高い → 避け合うように配置したい」という力学的なイメージです！
スメイルの問題の核心はここにあります。
「良い点の配置（＝低エネルギー）を、効率よく見つけるアルゴリズムを作ってほしい！」
ただ単に「一番低くなる配置を手作業で探せ」って話じゃなくて、
「100個でも1000個でも、計算機でサクッと配置できる方法を知りたい！」というのがこの問題の真髄。
ここで求められているのは：
そんなスーパーアルゴリズム！
でも…現状これはまだ未解決。
特に大きなN（たとえば10000個とか）になると、急激に難易度が上がります。
この問題、地味に見えて実はものすごく応用範囲が広いんです！
つまり、「2-球面上の点をどう並べるか？」という一見ピュアな問題が、宇宙の構造からコンピュータの動作まで、ありとあらゆる分野に関わってくるんです！
この問題に対して、今までに多くの研究者が挑んできました。
でも…
「すべてのNに対して、効率的に“ベストな点配置”を見つけるアルゴリズム」
はまだ見つかっていません。
だからこそ、スメイルはこの問題を未解決のリストに入れたんですね。
2-球面上の点の分布。言葉にするとシンプルだけど、その背後には、
がぎゅっと詰まっています。
そして何より、「どうやって計算するか」という計算理論の核心にも触れているところが、現代らしいんです。
次回の「帰れま18」では、スメイル問題第8問に進みます。
次もポップに深掘りしていきますのでお楽しみに〜！ 🎉