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こんにちは！今回から、『スメイルの問題全部解説するまで帰れま18』を開始します！
最初のテーマは第4の問題「1変数多項式の整数零点についてのτ（タウ）予想」！
聞き慣れない名前かもしれませんが、数論・計算複雑性の分野でとても重要な、そして現在も未解決の問題です。さっそく見ていきましょう！
なぜ第4の問題からなの？と思うかもしれませんが、第1問～第3問は、『ミレニアム懸賞問題』とまるまる同じだから、というのが理由です。
最初ということで、『スメイルの問題（スメイルの18の問題）』について軽く触れておきます。
これは、数学者スティーヴン・スメイルが1998年に発表した、21世紀に解くべきとされた数学の未解決問題リストです。
ヒルベルトの23の問題やミレニアム懸賞問題と類似の現代版「難問集」として位置づけられ、幾何学・解析・計算理論など幅広い分野をカバーしています。
その一部は『ミレニアム懸賞問題』や『ヒルベルトの23の問題』とも同じ内容になっています。
現状では、解決された問題はまだ数個しかありません。
では、第4の問題『1変数多項式の整数零点についてのτ（タウ）予想』の解説に入っていきましょう！
まずは基本のおさらい。
多項式とは、文字（変数）と数字（係数）が組み合わさってできた式のこと。
たとえば、
f(x)=3x^4−5x^2+2x−7
みたいなやつですね。
「1変数」というのは、上の例のように変数が一つだけ（ここでは x）使われているものを指します。
「零点（ゼロ点）」とは、多項式を0にする値のこと。
たとえば、f(x)=x^2−4 なら、
x=2やx=−2が零点です。
ここで「整数零点」とは、そのゼロになる値が整数であることを意味します。
つまり、多項式を整数に代入して0になる場合のことですね。
さて、問題の核心である τ予想（シューブ・スメイルのタウ予想タウ予想）。
簡単に言うと、多項式の「表現の複雑さ」と「整数零点の大きさ」に関する予想です。
多項式は「足し算」「引き算」「掛け算」「指数」を使って作られますが、ある多項式を作るために必要な最小の計算手順の数を示します。
これをτ値と呼びます。
τ予想は「τ値（多項式の複雑さ）が小さい多項式は、巨大な整数の零点を持つことはできない」という予想です。
つまり、計算が簡単な多項式の整数零点は大きくならないはず、という話。
この予想が正しいかどうかは、計算理論や数論の難問に大きく関わっており、数学・理論計算機科学の橋渡し的存在とされています。
この予想に名前が入っているシューブとスメイルは、どちらも人名です。
スメイルは、もちろんこの18の問題をリストアップしたスティーブ・スメイル本人です。
Steve Smale（スティーブ・スメイル）
もう一人は、
Michael Shub（マイケル・シューブ）
この予想はスメイルの問題（S. Smale’s Problems）に含まれ、まだ解決されていません。
スメイルは1998年に数学者の間に挑戦状を投げかけ、21世紀の数学の大問題をリストアップしましたが、その中の一つがこのτ予想です。
数多くの研究者がアプローチを試みていますが、現状は「部分的に証明された結果」や「特定の条件下での成り立ち」が報告されているだけです。
次回はスメイル問題シリーズ第5回、「ディオファントス曲線の高さ境界」をお届けします。
数学の世界のワクワクを一緒に追いかけましょうね！✨