今回の『スメイルの問題全部解説するまで帰れま18』は、第16の問題『ヤコビアン予想』について取り上げます！
今回の「ヤコビアン予想」はその中でも代数幾何・関数論の超王道級の未解決問題です。
なお、「第15の問題は？」と思った人もいるかもしれませんが、第15の問題はミレニアム懸賞問題『ナビエ-ストークス方程式の問題』と同じであるため、このシリーズでは割愛します。
📘 ヤコビアン予想とは？ポップに言うと…
数学の話でありがちな「関数Fに逆関数があるのか？」という問い。
でもこの予想は「Fの構造（ヤコビ行列）だけから、それを言えちゃうんじゃないか？」という、ちょっと欲張りな主張です。
✍️ ちゃんとした定義：ヤコビアン予想（Jacobian Conjecture）
体 kの特性が 0（例：有理数体や実数体）とする。
F:k^n→k^n を n変数の多項式写像とする。
もしヤコビアン行列（偏微分の行列） JF(x)の行列式が k の非ゼロ定数なら、
→ Fは多項式の逆関数を持つ（つまりFの逆写像もまた多項式になる）
これが「ヤコビアン予想」です！
🔍 ヤコビアンってなに？
- ヤコビアン行列 JF：
関数 F=(f1,…,fn) の各成分を、各変数で偏微分した行列。
- その行列式（det J_F）が「ゼロじゃない定数」なら、通常の逆写像定理（解析学）ではFは局所的に可逆、ということは判明しています。
- でもヤコビアン予想はそれをグローバル（全体）に、多項式として保証してくれと言ってる。ここが難しい！
💡 Dixmier予想と等価ってどういうこと？
このヤコビアン予想、実はDixmier予想（ディクスミエ予想）という全然違うように見える予想と等価（＝同じ内容）であることがわかっています。
🔁 Dixmier予想とは？
ディクスミエ予想は、微分作用素の代数（Weyl代数）に関する問題で、次のような内容：
Weyl代数 An(k)の自己準同型は全て自己同型である。
要するに、「ある種の“微分の計算ルール”を保つ写像は、ちゃんと逆写像もあるんじゃない？」という話です。
これとヤコビアン予想が同じ意味を持つと証明されたことで、解析学、代数幾何、非可換代数が不思議にリンクした！という驚きの発見でした。
ヤコビとディクスミエは人名
ここで登場した二つのカタカナ語は、どちらも人名です！
👨🏫 ヤコビ（Jacobi）
- 本名：Carl Gustav Jacob Jacobi（カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ）
- 生没年：1804–1851
- 国籍：ドイツ
- 分野：数学者（解析学・力学系・代数）
主な業績：
- ヤコビ行列（Jacobian matrix）やヤコビアン行列式（Jacobian determinant）を導入。
- ハミルトン力学や楕円関数論、偏微分方程式にも貢献。
- ラグランジュ、ハミルトンと並び称される解析力学の先駆者。
👨🏫 ディクスミエ（Dixmier）
- 本名：Jacques Dixmier（ジャック・ディクスミエ）
- 生年：1924年（現在100歳前後）
- 国籍：フランス
- 分野：非可換環論・作用素環・代数学
主な業績：
- Weyl代数に関するDixmier予想を提唱。
- 作用素環の発展に貢献し、フォン・ノイマン環などの研究でも知られる。
- フランス数学界の重鎮の一人で、数学的に非常に影響力のある人物です。
つまり、ヤコビアン予想もDixmier予想も、それぞれの業績にちなんで命名されたものなんですね。
どちらも「その分野の王道を築いた」ような人物なので、予想も非常に本質的な内容を含んでいます。
🧠 解決までの道のりは？
- 1939年にKellerによって提案されたのが最初。
- 2変数、3変数などの特殊ケースでは部分的な解決あり（例えば次数が低い場合など）。
- それでも一般のn変数・高次数のケースではいまだに完全未解決。
コンピュータ代数や代数幾何の進展にもかかわらず、70年以上たってもまだ正面突破できていません。
🌈 解けたら何がわかる？なにに役立つ？
この予想が真か偽かをはっきりさせることは、次の分野に衝撃を与える可能性があります：
- 代数幾何：多項式写像の性質に大きな進展
- 数値解析・暗号理論：逆写像構造の保証がアルゴリズム設計に影響
- 非可換幾何学や物理数学：Dixmier予想との関係を通して広い応用先
さらに、他の有名予想（ケレール予想、ドメイン拡張予想など）とも関係があるため、芋づる式に多くの知見がつながる可能性があります。
🎓 ちなみに：ヤコビアン予想が“もし偽”だったら？
- ものすごくシンプルな多項式（例えば3次くらい）を使って、「Fは可逆だけど逆が多項式じゃない」という具体的な反例が現れる。
- それはそれで大発見。代数幾何や可逆写像の常識がひっくり返るかもしれません！
📝 まとめ（箇条書き）
- ヤコビアン予想とは「ヤコビ行列式が定数なら逆写像も多項式か？」という問い
- 1939年に提唱され、現在も未解決の大問題
- 関数の構造から逆写像の性質を引き出せるかどうかが核心
- Dixmier予想という全く別の代数的予想と等価であることが知られている
- 解決されれば、代数幾何・物理数学・暗号理論にまで影響する
- 特定の次数・変数数では部分的な進展があるが、一般解決には至らず
「多項式が持つ“逆転の美学”って、ロマンだなあ」と感じたあなたに。
次回は、多項式の解き方に関する問題をポップに解説！解決済みの問題なのでお楽しみに！