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スメイルの18の問題の中でも、特にこの問題12は「一体何を聞いてるの！？」と戸惑う人が多い、超・抽象的な問いです。
最も玄人向けの研いだという言うこともできるでしょう。
でも実はこの問題、「シンプルな動きの中に、どれだけ隠れた対称性があるか？」という、力学系の“隠し味”を探るような話なんです。
ポップに言えば：
「関数Tって、T自身やその反復（T²、T³…）以外に、Tと仲良くできる写像（＝可換なもの）っているの？」
「いやいや、TとT²以外は全部“空気読まない”写像だったりしない？」
そんな関数の“孤立性”に関する問題です！
まず用語をおさらいしましょう。
簡単に言うと、
「滑らかで、逆写像も滑らかな写像」のこと。
たとえば：
これが微分同相写像です。
数学的には、位相空間や多様体の構造を壊さずに変形する“滑らかな変形”と思ってOKです。
以下に出てくる記号のDiffは、この「diffeomorphism（微分同相写像）」の略です。
Diff r (M)と書いたときは、
「中心化群」と聞くと難しそうですが、実はこんな内容です。
ある写像 T と“可換”なすべての写像の集合
つまり、
「Tと同時に使っても、順番を入れ替えても結果が変わらない写像たち」
を集めたのが「中心化群（centralizer）」です。
数式で書くと、ある関数 T に対して、
これが Tの中心化群です。
ここでスメイルが投げかけた疑問は、ずばりこれ：
「TとTⁿ（n回繰り返し）だけしか可換な写像がないTって、たくさんある？」
つまり、「中心化群が“ほぼ自明”なT」が一般的なのか、という話です。
たとえば：
スメイルの問いはこれを微分同相写像全体の空間 Diffr(M)\mathrm{Diff}^r(M)Diffr(M) の中で考えたときに、
中心化群が“自明”（＝Tの反復しかない）な写像が稠密に存在するか？
というものです。
あなたが主催のダンスイベントで、Tさんというダンサーがいます。
Tさんが踊りだすと、他の人たちが「じゃあ自分も」と動き出す。でも、Tさんは特殊なステップを踏むので、誰とも息が合わない。唯一合わせられるのはTさんのコピーだけ（TさんがT²、T³と繰り返すような人たち）。
そんな「孤高のダンサー」がたくさんいるとわかってきたわけです。
でも、もっと優雅なダンサーの世界（＝C²以上）では、まだその孤高さが証明されていません。
果たしてTさんはどの世界でも“唯一無二”でいられるのでしょうか？🕺✨
この難問に対して、2009年に進展がありました！
つまり、
滑らかさが「そこそこ」なら、この孤独な写像はけっこう身近にいる！
ということです。
これ、ぱっと見はニッチすぎる問題に見えますが、実はかなり本質的なテーマです。
今回はけっこう抽象的で、小難しい問題でしたね。でも大丈夫。次回はもっと視覚的！『ローレンツアトラクタはストレンジアトラクター？』をカオスと一緒にひも解きます！お楽しみに！