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今回は、「スメイルの問題全部解説するまで帰れま18」の第11問目に入ります。
今回紹介する 問題11：「1次元力学系は一般に双曲型か？」。
これがまたややこしい。
というのもこの問題、実は1問の中に（a）と（b）の2つのサブ問題が含まれている、スメイルリストの中で唯一の“二枚看板問題”なのです！
しかし、半分は解決済みの問題なので、そこは喜ばしいですね。その部分も含めて解説していきます。
力学系というと物理っぽいですが、数学的にはとてもシンプル。
ある関数を何度も繰り返して適用する操作を「離散力学系」と呼びます。
たとえば：
f(x) = 2x(1 - x)
これを「x = 0.3」などの初期値に何度も適用していくと、どんな値に近づいていくか？周期的に振動する？それともカオス的にバラバラになる？
そんなふうに時間とともにどう状態が変化するかを観察するのが、力学系の考え方です。
変数が1個だけ、つまり実数直線や区間（例：0,1）など、一次元空間上での話を扱います。
双曲型（hyperbolic）とは、力学系において「安定と不安定の方向がきっぱり分かれている」ことを意味します。
双曲型の特徴：
つまり、「双曲型です！」と言われると、「それならこの系はだいたい理解できる」と数学者は安心するわけです。
数学の微分方程式や力学系で「双曲型」とは、状態空間の中で、
という性質を持つものを指します。
この「収束方向と発散方向がはっきり分かれている」様子が、双曲線の形状のように、２つの異なる「枝」に分かれているイメージと似ているため、「双曲型」と名付けられました。
スメイルのこの問いは、ざっくり言うとこうです：
1次元の力学系って、だいたい双曲型のものに近づけるんじゃない？
もっと言うと、「双曲型なもの」で近似できるのでは？
この問いには（a）と（b）の2バージョンがあり、それぞれ微妙に設定が違います。
複素多項式のバージョンは、以下のようなことを問うています。
任意の複素多項式 T（次数 n）に対して、すべての臨界点が周期的吸引点（sink）に向かう双曲型多項式で近似できるか？
これは、複素平面上での反復関数のふるまい、つまりジュリア集合やマンデルブロ集合に出てくるアレです！
この問いは、マンデルブロ集合の構造と深く関わっているとされていて、現在でも完全には解決していません。
実数区間のバージョンは、以下のようなことを問うています。
実数区間 [0,1] 上の滑らかな写像 T（Cr関数）は、任意の精度で双曲型な写像に近づけられますか？
つまり、
どんな滑らかな関数も、双曲型な写像で近似できますか？
しかも、どんなに高い滑らかさ（r > 1）でもOKですか？
つまり、「ちょっと調整すれば、カオスやぐちゃぐちゃがなくて、性質が扱いやすい双曲型関数に“寄せる”ことができるのでは？」という問いです。
こちらは嬉しいニュースがあります。
2010年代に、コズロフスキー（Kozlovski）・シェン（Shen）・ファン・ストリエン（van Strien）の3人が、
Cr（r > 1）関数の空間で、双曲型写像が稠密（ちゅうみつ）であることを証明しました！
つまり：
「どんな滑らかな1次元力学系も、ちょっと調整すれば双曲型になるよ！」
ということが確定したんです。👏
（a）の複素多項式バージョンが解決できると：
つまり、「複素世界のカオス現象」に数学的な整理がつくことになるんです。
ここまでの内容を表でまとめると・・・
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 問題の主題 | 1次元力学系は双曲型に近づけられるか？ |
| （a）複素多項式版 | 未解決。ジュリア集合・マンデルブロ集合と深い関係 |
| （b）実区間の滑らかな写像 | 解決済み（Kozlovski・Shen・van Strien）。双曲型写像で近似可能と証明 |
| 難しさポイント | 双曲性とは何か、カオスと安定性のせめぎ合い |
| 発展性 | フラクタル解析、動的システム論、数値解析などへの応用可能 |
スメイルのこの問題は、一見すると専門的すぎて遠く感じるかもしれません。
でも、「カオスってなんだろう？」「安定な系ってどんなの？」という疑問に答える鍵を持つ、奥深い“数学的カオスの整理整頓”問題でもあります。
次にフラクタル画像やマンデルブロ集合を見たときは、
「もしかしたら、これも双曲型に近いのかも…？」なんて思い出してみてくださいね 🌀✨