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今回は、ミレニアム懸賞問題の中でも唯一「すでに解決された」問題、
ポアンカレ予想を解説します！
「未解決ばっかりで気が滅入る…」というあなたに朗報。
これはすでに証明されていて、しかもとんでもなくドラマチックなストーリーを持っています！
ざっくり言うと、ポアンカレ予想とは：
「ある条件を満たす3次元の空間は、実は3次元の球と同じ形をしている」
という数学の命題です。
ちょっと専門的に言うと…
「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面 S3と同相である」
……と言われても、何のことか分からないですよね？
ここからは順番に用語を解説していきます！
ポアンカレ予想を理解するには、トポロジーの用語をいくつか知っておく必要があります。
局所的には普通の空間に見えるけれど、全体としては複雑な形をした空間のこと。
例：地球の表面は一見平らだけど、実際は丸い。これは2次元多様体です。
つまり、「しっかり閉じた3次元空間」のことです。
すべてのループ（輪っか）を途中で切らずに縮めて1点にできる性質のこと。
つまり、「空間に“穴”がない」状態です。
私たちの直感では見えませんが、数学的にはバッチリ定義されている空間です。
連続的に変形できる関係。切ったり貼ったりせずに、ぐにゃっと変えて一致する形。
「形は違って見えても、実は本質的に同じ空間だよ」という意味です。
ここまで理解したうえで、ポアンカレ予想とは・・・
「単連結な3次元閉多様体は、3次元球面 S3と同じ形だよね？」
──これがポアンカレ予想です。
1904年に、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出されました。
ポアンカレ予想は、1904年にアンリ・ポアンカレによって提唱されたあと、数学界に100年以上立ちはだかる難問となりました。
特に3次元の空間は、直感的にイメージできるにも関わらず、数学的には非常に複雑です。
実は、他の次元の類似問題はすでに部分的に解決されていました。
たとえば、5次元以上ではスメイルとゼーマン（1960年代）が微分位相幾何の手法を使って証明を達成。
また、4次元ではフリードマンが1982年にある条件下での証明を示しましたが、完全な解決ではありませんでした。
この難問に新たな光を当てたのが、1980年代にリチャード・ハミルトンが導入した「リッチフロー」という幾何的手法でした。
空間の曲率を時間とともに滑らかに変形させることで、多様体の構造を明らかにする方法です。これが後のペレルマンの突破口となります。
そして、3次元のケースは、ほかの次元よりも技術的に難しく、特にリッチフローを用いた幾何的解析が鍵となりました。
箇条書きでまとめると・・・
この問題は、解決済みと知っている人も多いでしょう。
最終的に、ポアンカレ予想の証明は正しいと認められました。
🧘♂️ 謙虚で静かな天才として知られ、
数学界で最も謎に満ちた存在の一人となりました。
✅ ポアンカレ予想とは？
→ 単連結な3次元閉多様体は、3次元球面と同じ形であるという主張。
✅ 100年以上の未解決問題が、2003年にペレルマンの証明で解決！
✅ 証明は世界中で認められ、ミレニアム懸賞問題で初の「解決済み」へ。
✅ トポロジー・解析学・幾何学の発展に大きく貢献。
✅ 解決された問題なので、今回は「スッキリ終わる」回でした！
次回は、ついに第7回・最終回！
取り上げるのは、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想。
名前からして強そうなこの問題、
実は「楕円曲線」という超重要な数の世界がテーマです！
お楽しみに！