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ミレニアム懸賞問題、全7問を完全解説するこのシリーズもついに第4弾に突入。
これまでの「リーマン予想」や「P≠NP予想」などもヤバかったけど、今回はちょっと毛色が違う。
それがこちら。
ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題。
一見すると「理論物理っぽい？」と思うかもしれないけど、これはれっきとした数学の問題。
しかも、現実世界とめちゃくちゃ関係が深い。
「え、じゃあもう分かってるんじゃないの？」
いえいえ、だからこそ不思議なのです。現実で毎日使ってるのに、数学的には未解決って、なんかワクワクしませんか？
というか、この問題がちゃんと解けていない状態で飛行機を飛ばし、天気を予測し、ミルクをコップに注いでいる私たち、意外とすごいかもしれない。
ではさっそく、今回のテーマをわかりやすく＆ポップに解説していきます！
ナビエ–ストークス方程式とは、「流体の動き」を表すための数式です。
流体っていうのは、水・空気・ガス・オイルなど、形が変わって自由に流れるものたちのことですね。
この方程式を使うと、以下のような現象をモデル化できます：
つまり、この世界における“流れるもの”の大半を支配している方程式なのです。
式そのものはちょっと複雑ですが、簡略化するとこんな感じです：
ρ(∂v/∂t + v・∇v) = −∇p + μ∇²v + f
それぞれの記号の意味は以下の通りです。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| ρ | 流体の密度 |
| v | 速度ベクトル（流れる速さと向き） |
| p | 圧力 |
| μ | 粘性（ねばねば度） |
| f | 外力（たとえば重力） |
この式は、「流体がどんなふうに動くか」を計算するための基本中の基本。
でも、この式を3次元でちゃんと最後まで解けるかどうかは、誰にも分かっていないのです。
この問題のタイトルにも出てくる「解の存在」と「滑らかさ」。
この2つが何を意味しているのか、しっかり説明しておきましょう。
これは、「ナビエ–ストークス方程式に初期条件を与えたとき、解（答え）がちゃんと存在し続けるかどうか」という話です。
途中で数値が無限大になったり、「ここから先は計算不能です！」みたいな状態になると、解が存在しないとみなされます。
「途中で解が吹っ飛ぶかも」と考えると、現実のシミュレーションも信用できなくなりますよね。
こちらは、「その解がなめらかかどうか」、つまり急にギザギザになったり、爆発したりしないかという性質です。
例えば、空気の流れが突然激しく乱れてしまうような状況では、滑らかな解が存在しない可能性があります。
この2つ、**「存在するか」と「滑らかか」**が保証されていれば、ナビエ–ストークス方程式は安心して使えるわけですが、
それがまだ数学的には分かっていないんです。
実はこの方程式、19世紀にはすでに登場していた古参選手です。
現実世界ではシミュレーションに使われていて、流体力学や工学では大活躍中。
「じゃあもういいじゃん！理論とか後回しで！」
と思いたくなるのですが、数学的には以下のような困難があります。
方程式の中に v・∇v のような項があるため、これは非線形方程式になります。
非線形っていうのは、「1＋1＝2」みたいに素直に足し算できない世界のことです。
ちょっとした初期条件の違いが、とんでもない計算結果の違いにつながるので、
「部分的に正しそう」では足りないのです。
もし流れの中で、ある一点にものすごい力や速度が集中してしまうと、
そこでは計算が破綻し、「特異点（singularity）」ができる可能性があります。
つまり、「何が起こるか分からないゾーン」が生まれるかもしれないということです。
これが本当に起こるのか、または起こらないことを数学的に証明できるのか──
その答えが、今も分かっていません。
もしナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさが証明されたら、
私たちの未来はぐっと安心感に包まれるかもしれません。
今でもスーパーコンピューターでシミュレーションは可能ですが、
「それって実際に正しいの？」という不安が残っています。
理論的な裏付けができれば、より正確で信頼できるシミュレーションが可能になります。
気象学もナビエ–ストークスの影響を受けています。
精度が高くなれば、台風の進路予測や異常気象の対応などにも応用できます。
この問題は純粋数学、応用数学、物理学、計算科学といった分野にまたがっているため、
解決されることで、異なる学問分野がつながる大きな突破口になる可能性もあります。
それでは最後に、この記事の内容をコンパクトに振り返ってみましょう。
次回は、さらに抽象度高めな「ホッジ予想」に挑みます。
言葉は難しそうですが、中身は「素粒子の世界を支配する超謎数式」。
こちらもお楽しみに！