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みなさんこんにちは！こんかいから、数学の有名な未解決問題を解説する『ミレニアム懸賞問題解説全部解説するまで帰れま7』を始めていきます。
数学とか物理って、「なんか難しそう…」っていう印象ありますよね。でも、実はその“難しそう”な中に、人類の未来を左右するようなめちゃくちゃアツいテーマが隠れてるんです！
その代表格ともいえるのが今回のテーマ、
「ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題」！！
この問題、なんと100万ドル（約1億5000万円！）の賞金がかかった「ミレニアム懸賞問題」7つのうちのひとつ。今回はその中でも1番“物理っぽい”この問題を、できるだけわかりやすく、楽しく解説していきます！
まずは用語の説明をしながら、問題の意味を見ていきましょう。
まず「ヤン–ミルズ（Yang–Mills）方程式」って聞いたことありますか？
これは1954年に物理学者のチェン・ニン・ヤンとロバート・ミルズによって提唱された、いわば“現代物理の基礎を支える超重要な方程式”です。
ざっくり言うと：
🔬 「力（相互作用）」がどう働いているのかを数式で表したもの
現代の素粒子物理学の標準理論（Standard Model）は、電磁気力・弱い力・強い力という3つの力をヤン–ミルズ理論で記述しています。重力以外の自然界の力は、ほとんどこの方程式の枠組みで説明できちゃうんです。すごい！
ヤン–ミルズ理論のポイント：
「質量ギャップ」という言葉も、物理学で超重要な概念。
ここでの「ギャップ」とは、エネルギーの“飛び級”のこと。もう少し砕いて言うと：
⚛️ 「エネルギーが0の状態」と「最小の励起状態」の間に、ぽっかり開いた隙間がある状態
例えば、空っぽの箱に粒子が1個生まれるには、それなりのエネルギーが必要。その“最小エネルギー”がギャップです。これがないと、「いくらでも小さいエネルギーの粒子がボコボコ生まれる」ってことになって、理論が破綻しちゃいます。
強い力（量子色力学）でいうと、グルーオン（力を運ぶ粒子）には質量がないはずなのに、なぜか重い粒子（ハドロン）ができてしまう。この“謎の質量”をちゃんと説明するには、質量ギャップが必要なんです。
この問題、実は現実の観測ではうまくいってるんです。
でも！
数学的に厳密に「ヤン–ミルズ理論が質量ギャップを持つ」と証明されていない。
つまり：
というもどかしすぎる状態。
2000年、クレイ数学研究所がこの「証明してみなさい！」とミレニアム懸賞問題に認定し、100万ドルの賞金をかけました。現在もまだ、誰も証明できていません。
ぶっちゃけ、数式の世界で「無限」と「非可換」が暴れまくってて、証明がめちゃくちゃ難しいのです。
難しさポイントまとめ：
ざっくり言えば、「物理的にはこう動いてるっぽいけど、それをちゃんと数学で言い表すのが激ムズ」って感じ。
さらに、この問題を証明するには、
といった“数学界のフロンティア”を開拓しなければなりません。
この問題が解けたら、物理も数学もガチでレベルアップします。
✨わかること：
✨発展する分野：
これはもう、夢の宝箱や～！
さて、ミレニアム懸賞問題は全部で7つ！
次回は「ポアンカレ予想」か「Riemann予想」あたりをわかりやすくぶっ壊していこうと思います！（※すでに解かれた問題もあるよ！）
気になった方は、次回の「帰れま7」もお楽しみに～！