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ついに出ました――
ラスボス中のラスボス、「リーマン予想」！！！
「えっ、もう8番で出てきちゃうの？」って思うかもしれませんが、そうなんです。
ヒルベルト先生、1900年のパリで発表した23の問題の中に、堂々とリーマン予想を組み込んでいたんです。
今回は、この「誰もが名前だけは聞いたことがあるけど、ちゃんとわかる人はほとんどいない」最難関の数学問題を、ヒルベルトの問題の一部として見ていきます！
リーマン予想とは、ズバリこんな主張です：
リーマンゼータ関数の非自明な零点は、すべて実部が 1/2 の直線上に存在する。
う〜ん、やっぱり難しそう。そこで、もう少しかみ砕いてみましょう。
数学者リーマンが定義した、複素数 z に対する無限級数関数です： ζ(z)=∑n=1∞1nz\zeta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z}ζ(z)=n=1∑∞nz1
この関数、1以上の実数 z に対してはちゃんと定義できるんですが、リーマンはこれを**複素数全体に拡張（解析接続）**しました。
で、その関数が 0になる点（＝零点） に注目したのがリーマン予想。
実はこの予想、素数の分布と深〜〜く関係しているんです。
なので、リーマン予想の解決は、
「素数の秘密を完全に解き明かすカギ」
とも言われているんです！
ヒルベルトは1900年、パリの国際数学者会議で「これからの数学が取り組むべき23の問題」を発表しました。
そしてその中に、
「リーマンのゼータ関数の零点についての仮説（＝リーマン予想）」
を第8問題として堂々とリストアップ！
しかもこの第8問題、一つじゃないんです。
など、**いわば“数論の難問詰め合わせパック”**みたいになってるんです。
その中でも中心に据えられたのがリーマン予想。
ヒルベルトは「これは100年経っても残る」とは言わなかったけど、実際に100年以上解決してません！
多少話は横にそれますが、リーマン予想に関しては、以下のような逸話が数学界では有名です。
「もし死後に目覚めたら、まず“リーマン予想は証明されたか？”と尋ねるだろう」
これはヒルベルトの発言、という風に語られることもあります。
しかし真相は、
アティヤ（Sir Michael Atiyah）による引用または脚色で有名になった説が有力です。
ただし、このフレーズ自体が誰の発言かを明確に特定する記録はありません。
多くの資料やインタビューでは、複数の数学者に帰属されていることがあり、「ヒルベルトの言葉」として語られることもたまにありますが、信頼できる文献ではヒルベルト自身の発言とは確認されていません。
ヒルベルトがリーマン予想を重要視していたことは事実ですが、「死後に目覚めたら〜」という形式の発言は彼の記録に登場しないのです。
このフレーズは、現代の数学者や科学者がインタビューなどでリーマン予想への情熱を語る際によく使う“詩的なたとえ”の一つになっています。
リーマン予想の恐ろしいところは、
「証明されてないのに、なぜか正しそうなことがどんどん示されていく」
という点です。
つまり、わずかなズレも許されない超精密世界なのです。
はい、ここでバッサリ言います。
リーマン予想は、2025年現在、未解決です。
ただし、「誰も解決してない」とはいっても、「誰も何もしてない」わけじゃありません。
たとえば：
つまり、「正しそう」「いや、これどう見ても合ってる」ってことは山ほどわかってるのに、なぜか証明だけが出ない。
それがこの問題の怖さです。
リーマン予想は未証明であるにもかかわらず、現代数学では、
「リーマン予想が正しいと仮定すれば、Aが成り立つ」
「リーマン予想が真ならば、Bの誤差がこの範囲に収まる」
という形の定理や推論が、本当に山のように存在します。
それらの中には、素数の分布、暗号理論、整数論的関数の挙動など、非常に多くの応用が含まれていて、
すでに「リーマン予想は（証明されていないのに）“前提条件”として使ってOKな常識」とすらなっている場面もあります。
しかし――
もしも、リーマン予想が偽だったら？
そうなれば、こうした「予想を前提にした証明」は、根底から崩れ去る可能性があるんです。
まさに、数学界にとっての“大地震”のようなインパクト。
いわば、今の数学は「正しそうな前提の上に積み上げられた超高層ビル群」。
その地盤が崩れたら……ゾッとしますね。
ここで重要なのが、近代以降のコンピュータの助け！
中でも、ATLAS Project や数学者の Odlyzko（オドリツコ）による計算は超有名。
現代では、ゼータ関数を計算するための専用アルゴリズムまで開発されているほどです。
とはいえ、コンピュータが何兆個確認しても、それが「無限」に通じるわけではない。
だから「証明」にはならないんですね……数学は厳しい。
リーマン予想という未解決問題は、結果的にものすごいインパクトを数学全体に与えました。
たとえば：
何よりこの問題があるからこそ、
「まだ数学は終わってない」
という希望とロマンがあるわけです。
次回は第9問題！またしても数論ですが、ちょっと別の角度からアプローチしていきますよ〜！
「帰れま23」まだまだ続く！ぜひ最後までお付き合いください！