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こんにちは〜！帰れま23シリーズもいよいよ第17問に突入！
ここまで未解決ラッシュ、曖昧問題祭り、部分的解決大会が続いてきましたが……ついに来ましたよ！
＼✨解・決・済・み✨／
そう、今回のテーマ「定符号の式を完全平方式で表す問題」は、ちゃんと解かれてます！
しかも、ヒルベルト自らも途中まで手をつけていて、最終的に1927年、アルティンによって完全解決！
ここから数問はスッキリ爽快な解答ラッシュに入っていきますよ〜！
数学っぽい言葉だけど、ちょっと身近に感じられるようにしましょう！
まず「定符号（ていふごう）」とは：
「式が常に正（または負）であること」
たとえば、こんな式を考えてみましょう👇
f(x) = x² + 1
この式、xにどんな実数を入れても必ず正の値になりますよね？
x²は0以上だし、そこに1を足してるから、最小でも1！
つまりこのf(x)は「常に正」な式＝正定値関数です。
こういう「符号が一定の式」を、「定符号の式」と呼びます。
次に出てくるのが、「完全平方式（sum of squares、略してSOS）」！
これは名前の通り：
「いくつかの式の2乗の和で表された形」
たとえば、こんな感じ👇
g(x, y) = (x + y)² + (2x – y)²
これは完全平方式の例です！
2つの式を2乗して、それを足してるだけ。
どんなxとyを入れても、絶対に負にはなりませんよね？2乗ってそういうもの！
では、ここからが本題！
ヒルベルトの第17の問題とは、ざっくり言えば：
常に正（または0）の多項式って、分数の形にしてもいいから、全部「完全平方式」で表せるの？
という問い！
つまり、次のような形にできるのか？ということです👇
f(x₁, x₂, …, xₙ) =
(p₁(x)² + p₂(x)² + … + pₖ(x)²) / (q(x)² + r(x)² + …)
要は「定符号な式は、2乗の和（分子）／2乗の和（分母）」みたいな形に分解できるの？ってこと。
ヒルベルトはこれを自分で問題にしておきながら、なんとある程度まで解いてしまっているのです！
彼はすでに1893年の時点で、
「正の多項式が必ずしも多項式の和の完全平方式ではないこと」を証明
え！？ダメなの！？
そう、例としてよく出される「モツキンの反例（Motzkin polynomial）」なんかは、常に正なんだけど完全平方式では表せない。
つまり、単なる「2乗の和じゃ足りない」場合がある！
そこで彼はこう考えました👇
「じゃあ分数の形にしたらどう？それならうまくいくんじゃない？」
この発想が、第17の問題です！
そして、1927年——
この問題に立ち向かったのが、ドイツの数学者エミール・アルティン（Emil Artin）！
彼はすごかった！
「実数体」や「実閉体」の上で定義された定符号の多項式は、すべて完全平方式の分数式で書ける！
という、めっちゃ強い定理を証明したのです！
🎉つまり、ヒルベルトの第17の問題、完全に解決！🎉
具体的には、「実閉体上の任意の非負多項式は、2乗の和の分数で表せる」という形で定式化されます。
この結果は「アルティンの定理」として、現代でも数学の基本中の基本！
面白いのがここからの展開。
この第17問を皮切りに、なんと次の数問にわたって「ヒルベルトの問題」がどんどん解かれていきます！
ここまで、
など、もやもやが続いてきたヒルベルトリスト。
でも、ここからの問題たちは違う！
✅ 数学者の情熱が炸裂
✅ 理論の発展とともに明確な答えが得られる
✅ 数学史において重要な「ターニングポイント」！
とくにアルティンのこの成果は、
などの分野に大きな影響を与えました。
この問題は、単に「表現できるかどうか」を問うだけでなく、実数の構造や代数的対象をどう解析的に扱うかという、より大きな数学的視野を開くことになりました。以下がその主な功績です。
エミール・アルティンによる証明は、「半正定値な多項式は分数の形で完全平方式として表せる」というもの。これにより、
を扱う「実代数幾何学」という分野が確立される基礎となりました。
アルティンの証明の延長線上にある「アルティン–シュライアー理論」は、実数体における順序、体、代数的構造、論理の関係を整理するもので、後の「実閉体」の概念に深く関わります。
これは後に「実数の論理」や「順序体理論」など、数学基礎論とも接続する広がりを見せました。
完全平方式で表せるという結果は、単なる理論にとどまらず、
など、現代の計算数学・数理最適化にも応用されています。
さて、第17問はかなりスッキリ終わりました！
これぞ「理想的なヒルベルト問題の姿」かもしれませんね✨
いや〜今回の回は本当にスカッとしましたね！✨
次回は第18問！また新しい世界が待っています！
「帰れま23」、まだまだ旅は続くよ〜〜！🛤️
読んでくれてありがとう！また次回でお会いしましょう！