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さぁやってきました、ついに第12問！
ヒルベルトの23の問題を1つずつ解説していくこのシリーズ、今回はちょっと哲学的でディープな数論の世界に飛び込みます！
その名も……
🎓「類体の構成問題」
〜通称：Kroneckerの青春の夢〜
一部ではこのようなロマンチックなネーミングで呼ばれることもあります。
でも数学好きなら正座して聞きたくなる、ロマンの詰まった問題なんです！
まずは、用語を読み解きながら、問題が何を言っているのかを見ていきましょう。
まず「類体（class field）」とは何か。
これは一言でいうと：
ある数体の「最大のアーベル拡大」
ここでの「アーベル拡大」とは、そのガロア群がアーベル群（可換群）になるような拡大のこと。
この類体という存在、実は：
数の構造を“宇宙の地図”みたいに明らかにしてくれるスゴいやつ✨
なんです。
ヒルベルトがこの第12問で投げかけたのは：
「すべてのアーベル拡大を、具体的な“特別な数”で構成できないか？」
という壮大な問い。
イメージとしては：
ヒルベルト第12問の出発点、それがクロネッカー・ウェーバーの定理です。
「有理数体 Q のすべてのアーベル拡大は、円分体（Q(ζn)）で生成できる」
ここで登場する「円分体」とは、円をn等分した点の座標がつくる数体のこと。
つまり「円分根」と呼ばれる、n乗根の集合からなる数体です。
そしてヒルベルトは思ったのです：
「この魔法、他の数体にも通じるんじゃね？」
虚2次体（たとえば Q(√−d)）では、「複素乗法（complex multiplication）」という理論が大活躍！
この理論では：
などが登場し、「特別な数」でアーベル拡大が明示的に構成可能！
つまり、クロネッカーの夢は「虚2次体」において実現したわけです。
この問題には長年、多くの数学者が関わってきました：
そして、近年の進展もすごいです👇
今のところの状況は：
| 数体の種類 | 状況 |
|---|---|
| 虚2次体 | ✅ 解決！（複素乗法でOK） |
| 全純実体 | 🔶 一部構成可能（研究進行中） |
| それ以外の数体 | ❌ 未解決（方法不明） |
つまり、ヒルベルト第12問は「部分的に解決された問題」なのです。
英語文献では “partially resolved” と書かれ、日本語では「未解決」とされることもあります。
ヒルベルト第12問が「未完の夢」であるがゆえに、現代数学にこんなインパクトを与えました：
ヒルベルトの願い＝「特別な数で類体を構成したい！」という思想は、現代では：
といった巨大な研究領域へと繋がっています。
複素乗法理論を通じて、
がガッチリ結びつくようになりました。これこそ現代数学の面白さ！
この問題が「完全には解けていない」からこそ、
──といった新たな問題がどんどん出てくるわけです。
最後にポイントだけまとめます👇
ヒルベルトの夢はまだまだ続きます。
「すべての数学は一つにつながっている」──そんなワクワクを感じながら、次回もお楽しみに！
📚ここまで読んでくれてありがとうございました！