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さあ始まりました！「ヒルベルトの23の問題全部解説するまで帰れま23」シリーズ第1弾！記念すべき最初の問題は…なんといきなり「連続体仮説」です。
え、いきなりめっちゃ難しそう？大丈夫、今日は数学に詳しくない人でも「ふ〜ん、そんな話なのか〜」って思えるように、ポップにわかりやすく解説していきますよ。
数学の世界における伝説のプロジェクト、それが「ヒルベルトの23の問題」です。
1900年、ドイツの数学者ダフィッド・ヒルベルトが、フランス・パリで行われた国際数学者会議で発表した「20世紀の数学にとって重要な23個の未解決問題」のこと。
未来の数学者たちが取り組むべきテーマとして提示され、まさに「数学界の指針」になったと言っても過言ではありません。
その記念すべき第1問目が、今回の主役「連続体仮説」なんです。
さて、いよいよ本題。「連続体仮説（Continuum Hypothesis, 略してCH）」とは何なのか、めちゃくちゃ簡単に言ってみます。
一言で言うと：
「自然数の無限と実数の無限の間に、別のサイズの無限はあるのか？」という問い。
……はい、もう一回言います。
数学には「無限」と一言で言っても、実はいろんな“サイズ”があるんです。
たとえば：
この二つの間に、“中間的な無限のサイズ”が存在するのか？というのが連続体仮説。
ヒルベルトはこれを「証明したり反証したりできるはずだ」と思って問題にしたわけです。
連続体仮説の起源は、19世紀の後半、ドイツの数学者ゲオルク・カントールにさかのぼります。
カントールは無限の概念を理論的に扱った最初の人物で、彼が考え出したのがこの「無限のサイズ」の話。彼は以下のようなことを証明しました：
そして彼が仮説として立てたのが、
「自然数の無限より大きく、実数の無限より小さいような無限は存在しないのでは？」
というもの。つまり、「無限サイズの世界では、自然数→実数の間はジャンプであって、その間に段階はないんじゃない？」という仮説です。
それが「連続体仮説」。
さて、気になるのはここですよね。
結論から言うと：
「解決できないことがわかった」
え、なにそれ。
はい。つまり、連続体仮説は、「正しいとも間違っているとも言えない」という衝撃の結果にたどり着くんです。これがまさに“1問目から波乱の展開”のポイント。
ここからがミラクル。
否定できないことがわかったら証明できたことになる、というわけではありません。
その後は、証明しようという方向性で研究が進められていきましたが、さらに驚きの展開が。
現代数学の基本的な枠組みの中では、
……という「独立性」が証明されてしまったのです。
ヒルベルトがこの問題を第1問目に置いたのは、「まあ、誰かそのうち証明するやろ」くらいの気持ちだったのかもしれません。
まさか「どっちともいえない」という超越的な結末になるとは夢にも思わなかったでしょう。
でも、この出来事は数学界にとってはとんでもないインパクトでした。
「正しさ・真偽」というものが、使っている理論体系によって変わるという概念が浮かび上がったからです。
連続体仮説の行き着いた先は、
「人間が作った数学のルールの中では、どうしても決着がつけられない問題もある」
という現実。
でも、これって逆にすごくないですか？
「すべてを証明できる」と思われていた数学に、ちゃんと限界があるとわかったということは、
むしろ数学がより深く、哲学的な意味を持つ学問であることを示したんです。
連続体仮説は、今でも多くの数学者たちを魅了し続ける、「答えの出ない問い」です。
最後に今回の内容をサクッとまとめましょう！
次回は第2問！おそらくもうちょっと「解ける話」になります…たぶん！
ではまた、数学の迷宮でお会いしましょう🌀